Interventions > Ateliers

~~~~~ Ateliers ~~~~~

----- Ateliers du vendredi matin -----

* Pierre Ageron, Marine Lebreton, Virginie Maquet, François Plantade, Didier Trotoux (IREM de Caen Normandie)

 Les contes mathématiques, entre langage, histoire et imaginaire

 L’atelier s’inspire de travaux récents sur les affinités structurelles qui existent entre le conte et les mathématiques et sur les bénéfices possibles de l’utilisation de contes dans leur enseignement : travail sur l’écoute, la répétition et la transmission orale, travail sur l’imaginaire et la construction d’images personnelles. Il commencera par une tentative de définition et de classification des contes, et par l’évaluation, en termes de richesse et d’ancienneté, du corpus des contes à contenu mathématique, avec des exemples. Un temps spécifique sera consacré aux récits, nouvelles ou romans dont l’intrigue fait intervenir du langage crypté par un code mathématique, que ce soit en anglais (Edgar Allan Poe, Arthur Conan Doyle, …) ou en français (Jules Verne, …).

Une autre partie de l’atelier sera consacrée à la présentation et la lecture de quelques pages de L’Homme qui calculait de Malba Tahan. Ce livre au grand succès international, initialement publié en portugais au Brésil en 1938, adopte le principe des Mille et Une Nuits : il enchâsse de nombreux contes mathématiques, souvent construits à partir de problèmes récréatifs très anciens, à l’intérieur d’un conte-cadre se déroulant à Bagdad au xiii^e siècle. On discutera des sources historiques de l’auteur, des douze traductions de son livre (celle en langue arabe, publiée en 2006, étant un cas particulier intéressant de retour de ces contes dans leur culture d’origine) et de ses exploitations pédagogiques, par exemple par le biais du théâtre, de l’histoire ou des langues.

Il sera enfin proposé aux participants de créer un conte mathématique à partir de matériaux historiques mis à leur disposition.

Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’atelier :

Edgar Allan Poe, Le Scarabée d'or [The Gold Bug] (1843)

Jules Verne, Voyage au centre de la Terre (1864) ; La Jangada (1881)

Arthur Conan Doyle, Les Hommes dansants [The Adventure of the Dancing Men] (1903)

Malba Tahan, L’Homme qui calculait [O Homem que Calculava] (1938 ; trad. fr. 2001)

Divers récits ou problèmes mathématiques de la tradition arabe

* Évelyne Barbin, Anne Boyé et Jean-Marc Pichon (IREM des Pays de la Loire)

Le rôle de la langue algébrique dans l'extension de la notion de nombre aux XVI^e et XVII^e siècles

Le symbolisme introduit par les algébristes du XVI^e siècle pour désigner les inconnues d'un problème et les opérations conduit les auteurs à exhiber les algorithmes de résolution des équations par des formules algébriques et à admettre des solutions qui ne sont pas des nombres entiers ou fractionnaires. La question se pose alors de savoir si ces solutions peuvent être ou non considérées comme de "vrais nombres". Nous examinerons cette question à propos des irrationnels, des imaginaires et des négatifs, à partir de la lecture de textes de Jérôme Cardan, Jacques Peletier du Mans, Michael Stifel, Simon Stevin et Albert Girard. Nous analyserons leurs réponses en lien avec l'enseignement des "systèmes de nombres " du collège au lycée.

Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’atelier :

Extrait de l'Ars Magna de Cardan (1545).

Extrait de l'Algèbre de Jacques Peletier du Mans (1554).

Extrait de Bombelli, Rafael, L’Algebra, Opera, Bologne, Giovanni Rossi (1579)

Extrait de l'Arithmétique de Simon Stevin (1585).

* Pierre Desjonquères (IREM de Lille)

 Le sens de la mesure, les mots pour le dire en pays lillois

 Au XVII^e siècle, les arpenteurs autour de Lille utilisaient un système décimal pour les longueurs et les superficies, 10 pieds faisant la verge. Arrivé à Lille, Vauban écrit à Louvois afin d’obtenir une parcelle près de la nouvelle citadelle. Il convertit la superficie en mesures du Roi : « je prends la liberté de vous demander 400 verges, équivalentes à un carré qui aurait 30 toises 1/2 de face. »

Au début du XIX^e siècle, le système métrique tente de s’imposer comme un langage universel mais dans la pratique certains arpenteurs continuent d’utiliser leurs instruments et mesures locales, la conversion en mètres se faisant, une fois les calculs terminés, à l’aide de comptes-faits.

Une mesure fait sens dans une langue et une culture données, elle ne peut pas être arbitrairement remplacée par une autre. L’atelier proposera un travail sur la mesure à partir de sources primaires (documents de travail, brouillons) pouvant être utilisées au collège. Ce sera aussi l’occasion de discuter les difficultés de naturalisation chez les élèves du système métrique bien plus abstrait que les systèmes historiques.

 Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’atelier :

- Documents de travail de la famille Bersacques (arpenteurs de Courtrai) au XVII^e siècle
- Brouillons de Vauban issus de son passage à Lille
- Documents de travail d’arpenteurs lillois au XIX^e siècle

* Corentin Morandeau, Sabine de Foville, Martine Bühler (IREMS de Paris)

Du langage rhétorique au langage algébrique : les textes historiques comme aide à l’enseignement ?

Un certain nombre d’élèves rencontrent tout au long de leur scolarité dans le secondaire des difficultés avec le langage algébrique, dont souvent ils et elles ne voient pas clairement l’utilité et qui leur semblent vide de sens.

Nous avons pu constater lors d’expériences dans les classes que la lecture de textes donnant des démonstrations sur des exemples « génériques » pouvait aider ces élèves à s’approprier ces démonstrations et à les écrire avec ce langage plus formel de l’algèbre.

L’étude de textes historiques sur la naissance de l’algèbre, pratiquée au départ sans ce symbolisme, nous paraît pouvoir aider à introduire l’algèbre de manière motivante et concrète, à voir comment a évolué le langage employé, depuis des formulations purement rhétoriques, c’est-à-dire en langage « naturel » sans aucun symbolisme, jusqu’au langage actuel, et à mettre en évidence l’intérêt du langage symbolique.

Nous étudierons dans l’atelier de courts extraits d’ouvrages anciens, en pensant à l’usage qui pourrait en être fait en classe, et en s’intéressant à la façon dont les divers auteurs désignent les variables, inconnues, paramètres.

Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’exposé ou l’atelier :

Courts extraits, choisis pour être accessibles aux élèves du secondaire, de :

Diophante d'Alexandrie, Les six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones, traduction Paul Ver Eecke, Bruges, 1926, réédition Blanchard, 1959.

Viète, François, Francisci Vietae Zeteticorum libri quinque ex Opere restituae mathematicae analysaeos, seu algebra nova, apud J. Mettayer (Turonis), 1591. On s’aidera de la traduction de Vaulezard : Viète, François, Les cinq livres des Zététiques de François Viette , mis en françois, commentez et augmentez des exemples du Poristique et Exégétique, parties restantes de l'Analitique, par J.-L., sieur de Vaulezard... J. Jacquin (Paris), 1630.

Muhammad al-Khwarizmi, Kitab al-jabr wa’l muqabala (Le livre de la restauration et de la comparaison), traduction Ahmed Djebbar, in Al-Khwarizmi, L’algèbre et le calcul indien, Les classiques Kangourou, ACL – Les Éditions du Kangourou, 2013

Fibonacci, Liber Abaci, première édition 1202, deuxième édition 1228, traduction par Marc Moyon, in Fibonacci, Extraits du Liber Abaci, Les classiques du Kangourou, ACL – Les Éditions du Kangourou, Paris, 2016

Peletier, Jacques, L'algèbre, departie an deus livres, éditeur Jan de Tournes, Lyon, 1554.

Descartes René, Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences. Plus la Dioptrique. Les Meteores. Et la Geometrie qui sont des essais de cete methode, Leyde, 1637.

----- Ateliers du vendredi après-midi -----

* Thérèse Gilbert, Haute École Ephec, Bruxelles et GEM (Groupe d’Enseignement Mathématique) de Louvain-la-Neuve (Belgique)

 Quand les imprécisions d’une formulation en langue naturelle provoquent des débats fructueux, entre mathématiciens ou entre étudiants

 « Jusqu’à quel âge vivrons-nous ? », « Comparez les tailles d’ensembles donnés. », ces questions, qui peuvent sembler vagues, ont pourtant inspiré des mathématiciens et ont été sources de discussion et de recherches fructueuses.

 La première, « jusqu’à quel âge vivrons-nous ? », est posée en 1669 par Louis Huygens à son frère, le mathématicien Christian Huygens. Il s’ensuit une correspondance épistolaire dans laquelle apparaissent deux méthodes correspondant à deux façons d’interpréter la question de départ. Christian finira par écrire « je trouve que nous avons tous deux raison ». Je montrerai comment j’ai traité ce problème en formation initiale d’enseignants et nous lirons quelques extraits de cette correspondance.

 La deuxième thématique, « Comparez les tailles de ces ensembles » (les ensembles sont donnés), est le point de départ d’un débat animé entre étudiants en formation d’enseignants. Ceux-ci élaborent et discutent de plusieurs méthodes de comparaison des ensembles. Le débat, suivi de la lecture d’un texte de Galilée, introduit un cours sur les cardinaux infinis.

 Dans les deux cas, les discussions démarrent sur base d’une question posée en langage naturel. C’est au fil de la discussion que l’on est amené à préciser l’expression, voire à développer un nouveau vocabulaire, qui permettra de se mettre d’accord.

  Textes historiques étudiés :

 La correspondance entre Louis Huygens et son frère Christian, en 1669, quelques lettres dans Œuvres complètes de Christiaan Huygens, publiées par la Société hollandaise des Sciences, Tome VI, Correspondance 1666-1669(éd. sc. : Johannes Bosscha jr.), La Haye, Martinus Nijhoff, 1895. Quelques extraits.

G. Galilée, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, trad. M. Clavelin, Armand Colin, Paris, 1970. Un extrait.

* Anne Jorioz (IREM de Grenoble) et Frédérique Plantevin (IREM de Brest)

Apprendre à calculer avec les jetons à partir d’un texte original de 1561. Est-ce possible ? Est-ce utile ?

Dans le petit livre l’Arithmétique de Jean Trenchant (1561), se trouve un texte illustré de 13 pages où l’auteur explique comment faire les comptes avec les jetons si l’on n’a pas l’usage du calcul à la plume, pourtant « tres-prompte et trop plus seante et aysée […] que ne sont les getons ». Ainsi, après avoir expliqué comment représenter les nombres avec les « getz » sur l’arbre de numération, il explique comment « aiouter, soustrére, multiplier et partir » dans une langue - le moyen français - juste assez différente du français contemporain pour demander un effort d’attention et en tout cas, provoquer un certain dépaysement.

La lecture de ce texte apporte-t-elle quelque chose de plus aux élèves que d’apprendre l’usage des jetons tel que décrit dans des ressources ad hoc actuelles ? C’est la question que nous voulons élucider en observant des élèves de 5^e s’en saisir. Que se passe-t-il lorsque le texte apparaît, avec ses particularités, ses bizarreries voire ses mystères ? Empêche-t-il la compréhension ou au contraire sa singularité la stimule-t-elle ? Peut-on grâce à lui mobiliser des connaissances mathématiques ? Peut-on aussi en profiter pour découvrir une petite partie de l’histoire de notre langue, pourquoi pas en relation avec certains textes littéraires de cette époque ?

Dans l’atelier, les participants feront l’expérience de la découverte de ce texte pour comprendre et mener à bien les procédures qui y sont décrites concrètement, avec les jetons mis à disposition. Le travail mené avec les élèves sera ensuite présenté et discuté.

Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’atelier :

Trenchant Jean, 1561, L'art et moyen de calculer avec les getons, Lyon, Michel Jove (disponible en ligne sur Gallica : https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31492920n)

Remarque : ce pourrait être aussi bien une de ces multiples rééditions postérieures (jusqu’en 1647).

* Frédéric Laurent (IREM de Clermont-Ferrand)

  Vivre les mathématiques par des approches historiques, in English !

L’enseignement d’une DNL (discipline non linguistique) permet d’aborder les mathématiques de façon différente puisque le support de communication est la langue vivante étrangère. Mais c’est aussi une très bonne occasion pour aborder les mathématiques avec des considérations historiques. L’atelier a pour projet de présenter et de faire tester aux participants quelques activités introduisant une perspective historique expérimentées dans le cadre d’un enseignement de DNL en langue anglaise, dans des classes de première et de terminale, entre 2012 et 2023, au lycée international Jeanne d’Arc de Clermont-Ferrand.

À travers la présentation de telles activités ou de séquences complètes, l’idée est de questionner les pratiques d’enseignement sous-jacentes : quels changements le professeur de mathématiques doit-il (peut-il) opérer ? Comment la langue vivante modifie-t-elle son enseignement et son rapport aux savoirs enseignés ? Comment interagit-elle avec les contenus historiques ?

L’atelier s’adresse aux collègues souhaitant découvrir des activités historico-mathématiques éprouvées, envisager des séances en LVE avec leur propre classe, trouver une source d’inspiration pour varier leurs pratiques pédagogiques ou tout simplement pratiquer un peu d’anglais durant ce colloque !

Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’exposé ou l’atelier :

Babylonian tablets (HS 217a, YBC 7289…)

The Measurement of a Circle, by Archimedes

A Mathematician’s Apology, by G.H. Hardy

* Gaëlle Louaked, Cécile Martin et Jean-Michel Poppe (IREM de Lille)

  Mise en œuvre d’une activité utilisant l’histoire des mathématiques en classe de seconde : autour de la cryptologie

  L’histoire des mathématiques a été identifiée en recherche comme un levier pour la réflexion didactique et épistémologique des enseignants. Depuis 2019, elle figure dans les programmes scolaires français du lycée. Dans cet atelier, nous présenterons une activité développée dans le cadre d’une thèse, activité centrée sur la cryptologie. Cette application des mathématiques a longtemps été pratiquée comme manipulation du langage écrit et permet de sécuriser les informations en les rendant illisibles. La transformation d'un langage naturel en un langage codé, tout en maintenant un lien avec le langage d'origine offre aux élèves l'occasion de saisir le sens et l’utilité concrète des mathématiques dans des contextes de protection des données. À travers l'histoire de cette discipline appuyée sur des traductions françaises de textes historiques, les élèves découvrent le code César, le carré de Polybe, le mathématicien Al Kindi et le mathématicien Alan Turing. Nous inviterons les participants à tester cette activité puis à échanger sur les diverses possibilités de sa mise en pratique en classe. Nous procéderons ensuite à un bilan des observations relevées au cours de nos expérimentations menées dans plusieurs classes et auprès de différents groupes d’élèves de seconde.

Principaux textes historiques sur lesquels s’appuiera l’atelier :

L’atelier fait appel à des extraits de textes divers (Al Kindi, carré de Polybe affiché à l’entrée d’une des cellules du bastion Troubetskoï à Saint-Pétersbourg,…) et s’inspire des livres ci-dessous sans nécessairement les utiliser directement. Cette liste non exhaustive ne vise qu’à documenter un aperçu général sur le sujet.

- Belna, J.-P. (2005). Histoire de la logique. Collection L'esprit des sciences.

- Chabert, J.-L., Barbin, É., Guillemot, M., Michel-Pajus, A., Boroczky, J., & Djebbar, A. (2010). Histoire d'algorithmes : du caillou à la puce. Paris : Belin, Collection Regards sur la science.

- Durand-Richard, M.-J., & Guillot, P. (2014). Cryptologie et mathématiques : Une mutation des enjeux. Paris : Éditions L'Harmattan.

-Hodges, A. (2014). Alan Turing: The enigma: The book that inspired the film The Imitation Game. Reprint edition. Vintage Books.

- Muller, D. (2007). Les codes secrets décryptés. Broché.

- Turing, A., & Girard, J.-Y. (1999). La machine de Turing. Paris : Points, Collection Points Sciences.